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立足教材,注重实践,着力培养学生的空间观念——《三角形、平行四边形和梯形》教材透视及教学思考

《三角形、平行四边形和梯形》是苏教版教材四年级下册第七单元内容。之前,学生已经直观认识了三角形和平行四边形,建立了垂线与平行线的概念。本单元主要学习这些图形的形状、结构特点以及它们的底和高等内容。随着三角形、平行四边形和梯形概念的形成,学生会增加许多有关“图形与几何”的知识,空间观念会得到明显的发展。因此,这部分内容的学习是学生进一步认识有关图形的重要基础。下面就三角形、平行四边形和梯形认识的教学谈一谈自己的思考。
一、教材透视
本单元中,三角形所涉及的内容比较多,教材重点编排了三角形的相关知识,有七道例题和两个练习教学三角形。通过三角形的学习让学生积累经验,为认识平行四边形和梯形提供支持。然后,教材分别编排了一道例题教学平行四边形和梯形的知识,编排一个练习巩固平行四边形和梯形的有关知识。
1.在活动中体会图形的结构特征。
教材采用“活动—体验”的教学策略,组织了丰富的活动,引导学生在活动中体会图形的特征,主动建构对有关图形的认识。
(1)在活动中体会三角形边、角和顶点的特征。
对三角形边、角和顶点特征的体会,教材安排了三项活动。首先,呈现生活情境图,引导学生联想生活中有许多地方都能看到三角形形状的物体,从而引起对三角形的回忆。其次,让学生画一个三角形,经历用线段围成三角形的过程,初步体会三角形边与角的特点。最后指出,“三条线段首尾相接围成的图形叫作三角形”。这个结论是学生画三角形获得的体会,也是对三角形形状特点的描述,更是对三角形初步的概括性认识。
(2)在活动中体会三角形任意两边长度的和一定大于第三边。
《课程标准(2011年版)》要求“通过观察、操作,了解三角形的两边之和大于第三边”。教材安排了两个层次的活动。首先给出4根长度分别是8厘米、5厘米、4厘米、2厘米的小棒,通过问题驱动学生动手围一围,在操作中发现有时能围成三角形,有时不能围成三角形,并体会到之所以“围成”或“围不成”与所选择的小棒的长度有关。在比较每次选用的三根小棒长度的过程中,找到影响操作结果的原因。接着,让学生随意画一些三角形,量出各条边的长度,看看每个三角形中,任意两边长度的和与第三边比较,结果怎样?在众多三角形实例中归纳和验证结论。这是“数学化”的过程,在获得数学结论的同时又体现了科学而严谨的认知态度。
(3)在活动中体会等腰三角形和等边三角形的特点。
在认识等腰三角形和等边三角形的过程中,教材凸显了活动的层次性。第一层次是测量若干个三角形边的长度,初步理解“等腰”或“等边”的含义。第二层次是指出等腰三角形的两条腰与一条底以及两个底角和一个顶角,让学生了解等腰三角形各部分的名称。第三层次是仿照例题示范的方法剪出一个等腰三角形或一个等边三角形,通过剪三角形活动,继续体会等腰三角形的两条腰长度相等,进一步发现等腰三角形是轴对称图形,它的两个底角相等,底边上的高正好在对称轴上;继续体会等边三角形的三条边长度都相等,进一步发现等边三角形也是轴对称图形,它的3个角相等,有3条对称轴,分别是每一条边上的高。
(4)在活动中体会平行四边形和梯形对边的特点。
在教学平行四边形的形状特点时,教材让学生仿照生活中平行四边形的样子,在方格纸上画出平行四边形,感受平行四边形的两组对边分别互相平行。这样不仅可以借助方格纸上的横线互相平行的事实,方便地画出平行四边形的一组上下对边,体会这组对边互相平行。而且在方格纸上还能体会另一组对边可以互相平移,感受到这组对边也是互相平行的。从而理解平行四边形的“两组对边分别平行”的含义,突破学习上的难点。尽管学生第一次接触梯形,教材安排的教学线索与平行四边形还是差不多,这主要是考虑到认识平行四边形的经验能在认识梯形的过程中发挥一定的作用。教材先让学生观察生活中的梯形,然后通过“画”梯形体会梯形只有一组对边平行,另一组对边不平行的特点,从而凸显了图形的本质特点。
2.在分析中体会图形的本质属性。
数学概念的学习,往往是在具体的感性材料里提取数学对象的本质特征,从而形成理性认识。教材采用了“分析—理解”的教学策略。
(1)分析距离特征,理解图形的高。
“高”是多边形认识中的一个重要知识点。在认识三角形高的教学中,教材突出让学生分析顶点和对应底边的关系。首先从测量“人字梁”图形的高是多少厘米入手,将生活中的高与多边形的高建立联系,并结合图形讲述三角形的高,揭示三角形“高”的含义。接着教材着重安排学生画三角形的高和测量三角形的高这两类活动,帮助学生在活动中进一步分析平面图形的高与对应底边的关系,明确这种关系的本质特征是“垂直”,而不是“竖直”。教材在编排三角形高的认识时,先从竖直的位置讲起,再列举出各种位置摆放的、不同类型的三角形不同边上的高,突出高和相应底边的垂直关系,从而帮助学生深刻理解概念的内涵,全面把握概念的外延。
在认识平行四边形高的教学中,教材突出让学生分析平行四边形有两组互相平行的对边,两条平行线之间所有垂直线段的长度都相等,所以每组对边之间有平行四边形的一组高,进而理解一个平行四边形通常有两组长度不相等的高。教材先教学平行四边形上下一组对边之间的高,再教学平行四边形左右一组对边之间的高。这样安排,有利于学生循序渐进地理解高的概念,掌握画高和度量高的方法。
(2)分析角的特征,理解图形分类。
在三角形按角的特征分类的教学中,教材首先要求观察每个三角形里的各个角分别是什么角,并把观察结果填在预设的表格里,引导学生分析表格里的数据信息,发现有些三角形的3个角都是锐角,有些三角形有1个直角和2个锐角,有些三角形有1个钝角和2个锐角,从而引发给三角形分类的想法;进而揭示什么样的三角形是锐角三角形,什么样的三角形是直角三角形,什么样的三角形是钝角三角形。最后,教材还通过分析每一类三角形角的特点,引导学生理解为什么锐角三角形要强调三个角都是锐角,而直角三角形、钝角三角形只需强调有1个直角或1个钝角,从而帮助他们正确地利用概念进行判断,掌握判断的思考要点,进一步理解概念的关键内涵。
3.在变化中体会图形的内在联系。
    为帮助学生深入理解图形的特征,教材注重图形之间的内在联系,编排了许多有关图形变换的内容,让学生在感兴趣的操作活动中开展数学思考,发挥空间想象,加强对三角形、平行四边形和梯形的体验。教材采用“变化—感悟”的教学策略。
(1)分图形——感受不同图形之间的联系。
教材安排了把给定的平行四边形分成两个完全一样的锐角三角形或两个完全一样的钝角三角形的活动,让学生体会平行四边形通常有两个锐角和两个钝角,沿着平行四边形的对角线能把它分成两个完全一样的三角形,感受平行四边形与锐角三角形、钝角三角形的内在联系。
(2)拼图形——丰富对图形特征的认识。
教材安排了用两块完全一样的三角尺拼成内角和是180°的图形,拼成内角和是360°的图形。学生在拼的过程中感悟到,内角和为180°的图形一定是三角形,内角和为360°的图形一定是四边形。这样既有助于学生加深对三角形内角和的理解,又有助于学生初步感受四边形内角和的规律。
(3)等积变换——体会图形转化的规律。
教材提供由七巧板里的一块正方形和两块三角形拼成的一个平行四边形,要求学生移动其中的一块,把平行四边形改拼成长方形。学生在直观操作的支持下,容易想到可以把左边的三角形平移到平行四边形的右边,也可以把右边的三角形平移到平行四边形的左边,从而使平行四边形转化成长方形。这样的活动不仅有利于学生理解平行四边形与长方形各自的特点,而且有利于他们初步感受图形转化的一些基本方法。
二、教学思考
掌握相关图形的基本特征,感受不同图形之间的内在关联,进一步发展空间观念,是这部分内容的基本教学目标。为实现上述目标,教学中应关注学生已有的经验,注重知识的有效迁移;关注操作,注重知识的自主建构;关注联系,注重知识的拓展延伸。
1.关注经验,注重知识的有效迁移。
(1)借助生活经验,提炼数学概念。
在三角形高的认识过程中,要充分借助学生的生活经验,使得高的概念自然生长于已有的生活经验之中。首先要唤起学生测量生活中“人字梁”高度的经验,让他们在讨论中进一步明确这个高度的实际意义。接着要唤起学生画垂线的经验,通过尝试画出三角形的高和交流画法,在画高的操作与画法交流中初步体验高的数学含义。最后唤起学生测量距离的经验,通过动手测量三角形底和高的长度,发展对三角形高的认识。从生活经验入手,不断突出概念的内涵,这样就能引导学生既基于“人字梁”高度的已有经验展开对三角形高的认识过程,又逐步超越已有的经验,主动提炼出三角形高的概念,从而形成关于高的正确认识。
(2)借助学习经验,掌握探究方法。
数学学习的过程,也是学生不断积累数学活动经验、形成探究数学知识方法的过程。在教学中要充分利用学生已有的学习经验,不断积累和掌握认识和研究平面图形特征的方法。例如,探索平行四边形的特征之后,应鼓励学生自主探究梯形的特征。所以,平行四边形特征的学习更应该关注学习经验的积累,这样学生就会把获得的经验主动运用于梯形特征的探究过程:先观察屋顶的一个面、梯子的一级、足球架的一个侧面等,把这些面的形状分别抽象成几何图形,形成对梯形的直观感知。然后通过在方格纸上画梯形,感受梯形只有一组对边平行,另一组对边不平行,从而自主掌握梯形的特征。
2.关注操作,注重知识的自主建构。
(1)经历操作过程,丰富和加深对图形特征的体验。
对三角形、平行四边形和梯形特征的体验,是本单元教学的重点之一。让学生经历操作过程,有利于他们丰富和加深这种体验。例如,对三角形特征的体验,除了让学生观察生活中的实物,在头脑中建立表象以外,还要让学生经历画三角形的过程:可以在方格纸上给出4个点,要求学生从中选择3个点作为顶点,画出一个三角形。经过这样的画图操作,让学生体会三角形的3个顶点不能在同一条直线上;不在同一直线上的3个点两两相连总能围成三角形,从而丰富和加深对三角形特征的体验。
(2)经历操作过程,引导学生自主探索并解决数学问题。
让学生了解三角形的内角和是180°,是这部分内容的基本教学要求之一。从教学上看,这里不仅是一个知识点,更应是一个难得的探索发现的机会。为此,在操作中要让学生经历“质疑—解疑”的过程。首先,在计算同一块三角尺上的3个角的度数和的操作中,引导学生产生疑问:其他三角形的内角和是多少度?也会是180°吗?这就确定了例题的学习内容和目标。接着,要引导学生在操作实验中解疑,进一步激发学生的思考:要想知道是不是所有三角形的内角和都是180°,该怎样进行验证?让学生自主发现把一个三角形的3个角拼在一起,从拼成的角是不是平角就可实现上述验证要求。为充分达到解疑的目的,还应提醒学生进行小组合作,剪出不同类型的三角形进行实验,发现无论是锐角三角形、直角三角形,还是钝角三角形,它们的内角和都是180°。正是由于经历了丰富的操作活动,才使得知识的获得过程同时也成为极富探索价值的过程。
3.关注联系,注重知识的拓展延伸。
(1)加强比较,进一步辨析概念。
实践表明,在图形特征的教学中恰当运用比较,不但能突出图形的本质属性,明确概念的内涵和外延,而且可以进一步拓展对图形的认识。例如,平行四边形的高,既是理解平行四边形特征的基本内容,又是以后探究平行四边形面积的重要知识。教学时可通过比较,帮助学生辨析概念的本质特征。结合教材中给出的两个同样的平行四边形,在左边图形中画出平行四边形上下一组对边之间的高,在右边图形中画出平行四边形左右一组对边之间的高,引导学生比较这两条高的相同点,能进一步体会平行四边形高与底的对应关系。即,以平行四边形下面一条边为底,应该画上下对边之间的高;以平行四边形右面一条边为底,应该画左右对边之间的高。再通过不同点的比较,则能体会如果从一个顶点向它的对边画高,可以画出两种不同的高,两条底边的长度不同,画出的两条高的长度也不同。这也为以后探究平行四边形的面积公式做了必要的准备。
(2)加强变化,进一步厘清关系。
图形之间的联系,是学生进一步探究图形知识的重要基础。教学时要加强图形之间的变化,厘清图形之间的关系。可以结合教材提供的“动手做”,将两根长度相等的长吸管和两根长度相等的短吸管,用线穿起来,做出一个长方形。慢慢拉动这个长方形,引导学生观察思考:长方形的什么变了?什么没有变?使他们体会到长方形与平行四边形的联系和区别,感受当平行四边形的内角变成直角时,它就变成了长方形。这些感性认识,拓展了学生对图形之间关系的认识,也能进一步激发学生对长方形与平行四边形关系的深度思考。


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